การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง      

ทบทวนความรู้เรื่องเอกนามและพหุนาม

ทบทวนความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็ม

แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง


1.1  การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง
         ถ้า  a , b  และ  c  แทนจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว

               a(b + c)  =  ab + ac      หรือ        (b + c)a  =  ba + ca

         เราอาจเขียนสมบัติการแจกแจงข้างต้นใหม่เป็นดังนี้

               ab + ac  =  a(b + c)      หรือ       ba + ca  =  (b + c)a

         ถ้า  a , b  และ  c  เป็นพหุนาม  เราก็สามารถใช้สมบัติการแจกแจงข้างต้นได้ด้วย และเรียก  a  ว่า

ตัวประกอบร่วมของ ab และ ac  หรือตัวประกอบร่วมของ  ba และ ca

         พิจารณาวิธีการแยกตัวประกอบของ  15x2y – 18xy2  โดยใช้สมบัติการแจกแจงดังนี้

               15x2y – 18xy2  =  3(5x2y – 6xy2)      [3 เป็น ห.ร.ม. ของ 15 และ 18]

                                        =  3x(5xy – 6y2)       [x เป็นตัวประกอบร่วมของ 5x2y และ 6xy2]

                                        =  3xy(5x – 6y)           [y เป็นตัวประกอบร่วมของ5xy  และ 6y2]

               ดังนั้น   5x2y – 18xy2   =  3xy(5x – 6y)

         ตัวอย่างที่ 1    จงแยกตัวประกอบของ  5xy + 6x2

         วิธีทำ             5xy + 6x2   =   (x)(5y) + (x)(6x)
                                   
                                                =   x(5y + 6x)                              

                 ข้อสังเกต   x  เป็นตัวประกอบร่วมของ 5xy  และ  6x2   ดึง  x  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

         ตัวอย่างที่ 2    จงแยกตัวประกอบของ  12y2z + 20yz

         วิธีทำ             12y2z + 20yz   = (4yz)(3y) + (4yz)(5)

                                                     =  4yz(3y + 5)

                ข้อสังเกต  4yz  เป็นตัวประกอบร่วมของ 12y2z  และ 20yz  ดึง  4yz  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

         ตัวอย่างที่ 3   จงแยกตัวประกอบของ  16x3y3 – 24x4y

         วิธีทำ            16x3y3 – 24x4y   = (8x3y)(2y2) – (8x3y)(3x)

                                                       =  8x3y(2y2 – 3x)

                ข้อสังเกต  8x3y  เป็นตัวประกอบร่วมของ 16x3y3 และ  24x4y ดึง  8x3y  ที่เป็นตัวประกอบร่วมออกมา

               

                ข้อควรระวัง

                1.  ตัวประกอบร่วมที่นำออกมานอกวงเล็บ

                2.  ต้องเป็นตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด

                3.  ถ้ายังมีตัวประกอบเหลืออยู่ต้องนำออกมาให้หมด

                4.  ในการแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีหลายพจน์อาจต้องใช้สมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่

ประกอบด้วย   นอกจากจะใช้สมบัติการแจกแจงแล้ว  ดังตัวอย่างต่อไปนี้

            ตัวอย่างที่ 4   จงแยกตัวประกอบของ  ab -2ac + bc -2c2

            วิธีทำ             ab -2ac + bc -2c2   =  (ab – 2ac) + (bc – 2c2)

                                                              =  a(b – 2c) + c(b – 2c)

                                                              =  (b – 2c)(a + c)

                     ดังนั้น   ab -2ac + bc -2c2   =  (b – 2c)(a + c)

                 ข้อสังเกต     1.  a , c      เป็นตัวประกอบร่วม

                                   2.  b – 2c   เป็นตัวประกอบร่วม

             ตัวอย่างที่ 5   จงแยกตัวประกอบของ  5x2z – 3y + 5yz – 3x2

             วิธีทำ            5x2z – 3y + 5yz – 3x2  =   5x2z – 3x2 + 5yz – 3y

                                                                    =   (5x2z – 3x2) + (5yz – 3y)

                                                                    =   x2(5z – 3) + y(5z – 3)

                                                                    =   (5z – 3)(x2 + y)

                     ดังนั้น  5x2z – 3y + 5yz – 3x2   =  (5z – 3) (x2 + y)

                  ข้อสังเกต   1.  x2 , y    เป็นตัวประกอบร่วม

                                  2.  5z – 3   เป็นตัวประกอบร่วม

              ตัวอย่างที่ 6   จงแยกตัวประกอบของ  mr2 – 3mp + 15np – 5nr2

              วิธีทำ            mr2 – 3mp + 15np – 5nr2   =   mr2– 3mp – 5nr2+ 15np

                                                                            =   (mr2– 3mp) – [(5n)r2– (3)(5n)p]

                                                                            =   m(r2 – 3p) – 5n(r2 – 3p)

                                                                            =   (r2 – 3p)(m – 5n)

                      ดังนั้น  mr2 – 3mp + 15np – 5nr2    =   (r2 – 3p)(m – 5n)

                     ข้อสังเกต     1.  m , 5n  เป็นตัวประกอบร่วม

                                      2.  r2 – 3p   เป็นตัวประกอบร่วม


1.2  การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
                  การแยกตัวประกอบของพหุนามที่มีดีกรีสองและมีตัวแปรเดียว  ที่แต่ละพจน์มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม

            ตัวอย่าง   ของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
                 
                          3x2+ 4x + 5 , 2x2– 6x – 1 , x2– 9 , y2+ 3y – 7 , -y2+ 8y

                    พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนในรูป  ax2 + bx + c  เมื่อ  a , b , c  เป็นค่าคงตัวที่

           a ≠ 0  และ  x  เป็นตัวแปร

           1.2.1  การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

                     ในรูป  ax2 + bx + c  เมื่อ  a , b  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  =  0

                     ในกรณีที่  c = 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยู่ในรูป  ax2+ bx  สามารถใช้สมบัติการแจกแจง

            แยกตัวประกอบได้

            ตัวอย่างที่ 1   จงแยกตัวประกอบของ  x2 + 2x

            วิธีทำ            x2 + 2x       =   (x)(x) + (2)(x)

                                                  =   x(x + 2)

           ตัวอย่างที่ 2   จงแยกตัวประกอบของ  4x2 - 20x

           วิธีทำ           4x2 - 20x      =   (4x)(x) - (4x)(5)

                                                  =   4x(x - 5)

           ตัวอย่างที่ 3   จงแยกตัวประกอบของ  -4x2 - 6x

           วิธีทำ            -4x2 - 6x      =   -2x(2x + 3)

                    หรือ     -4x2 - 6x     =    2x(-2x - 3)

          ตัวอย่างที่ 4   จงแยกตัวประกอบของ  -15x2 + 12x

          วิธีทำ            -15x2 + 12x    =   (3x)(-5x) + (3x)(4)

                                                    =   3x(-5x + 4)

                    หรือ     -15x2 + 12x  =   (-3x)(-5x) - (-3x)(4)

                                                     =   -3x(5x - 4)


1.2.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว
                   ในรูป  ax2 + bx + c  เมื่อ  a = 1 , b  และ  c  เป็นจำนวนเต็ม และ  c  ≠  0

                   ในกรณีที่   a = 1   และ  c ≠ 0  พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว   จะอยู่ในรูป  x2  +  bx  +  c
 
         สามารถแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปนี้ได้      โดยอาศัยแนวคิดจากการหาผลคูณของพหุนาม

         ดังตัวอย่างต่อไปนี้

                  จากการหาผลคูณ   ( x +2 )( x + 3 )  ดังกล่าว  จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ    x2 + 5x + 6

         โดยทำขั้นตอนย้อนกลับ  ดังนี้

                   x2 + 5x + 6   =  x2 + (2 + 3)x + (2)(3)         [ 2 + 3 = 5  และ  (2) × (3) = 6 ]
 
                                        =  x2 + (2x + 3x) + (2)(3)

                                        =  (x2 + 2x) + [3x + (2)(3)]
 
                                        =  (x + 2)x + (x + 2)(3)

                                        =  (x + 2)(x + 3)

                               นั่นคือ     x2 + 5x + 6  =  (x + 2)(x + 3)

                   พิจารณาผลคูณของพหุนามต่อไปนี้

                   1.   (x + 2)(x + 3)  =  (x + 2)(x) + (x + 2)(3)

                                                =  (x2 + 2x)+ [3x + (2)(3)]

                                                =  x2 + (2x+ 3x) + (2)(3)

                                                =  x2 + (2+ 3)x + (2)(3)

                                                =  x2 + 5x + 6

                         ดังนั้น   แยกตัวประกอบของ  x2 + 5x + 6  ได้ดังนี้   x2 + 5x + 6   = (x + 2)(x + 3)

                         ให้สังเกตว่า  เราจะแยกตัวประกอบของ  x2+ 5x + 6  ได้  ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวน

              ที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัว คือ 6  และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  5

              (x + 4)(x – 5)   =  (x + 4)(x) + (x + 4)(-5)
 
                                      =   (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]
 
                                      =   x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)
 
                                      =   x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5)
 
                                      =   x2 + (-1)x + (-20)

                                      =   x2  -  x  - 20
 
                         ดังนั้น   แยกตัวประกอบของ    x2 - x - 20   ได้ดังนี้  x2 - x - 20   = (x + 4)(x – 5)

                        จากการหาผลคูณ    (x + 4)(x -5)  ดังกล่าว  จะได้ขั้นตอนการแยกตัวประกอบของ   x2- x – 20

               โดยทำขั้นตอนย้อนกลับในทำนองเดียวกับข้อ 1. ดังนี้

                   x2- x – 20    =   x2 + (-1)x + (-20)

                                      =   x2 + [4 + (-5)] x + (4)(-5)            [4 + (-5) = -1   และ  (4)(-5) = -20 ]
                 
                                      =   x2 + [4x + (-5)x] + (4)(-5)

                                     =   (x2 + 4x) + [(-5)x + (4)(-5)]

                                     =   (x + 4)x + (x + 4)(-5)

                                     =   (x + 4)[x + (-5)]

                                     =   (x + 4)(x -5)

                             นั่นคือ         x2 - x - 20   =   (x + 4)(x - 5)

                            ให้สังเกตเช่นเดียวกันว่า  เราจะแยกตัวประกอบของ  x2- x – 20  ได้  ถ้าเราสามารถหาจำนวนเต็ม

            สองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ  -20  และบวกกันได้เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  -1

                             จากที่กล่าวมาข้างต้นนี้  ถ้าเราต้องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง  เช่น  x2+ 6x + 8
           
            เราจะต้องหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้  8  และบวกกันได้  6  ก่อน  ดังนี้
           
            เนื่องจาก     x2 + 6x + 8  =  x2 + (2 + 4)x + (2)(4)

                                                 =  x2 + (2x + 4x) + (2)(4)

                                                 =  (x2 + 2x) + [4x + (2)(4)]

                                                 =  (x + 2)x + (x + 2)(4)

                                                 =  (x + 2)(x + 4)

                                   นั่นคือ     x2 + 6x + 8     =    (x + 2)(x + 4)
           
              ในกรณีทั่วไป  เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป   x2 + bx + c  เมื่อ  b , c  เป็นจำนวนเต็ม

        และ  c ≠ 0  ได้  ถ้าเราสามารถหา  จำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้เท่ากับพจน์ที่เป็นค่าคงตัวคือ  c  และบวกกันได้

        เท่ากับสัมประสิทธิ์ของ  x  คือ  b

                ถ้าให้  m  และ  n  เป็นจำนวนเต็มสองจำนวน  ซึ่ง  mn  =  c  และ  m + n  =  b

                จะได้ว่า     x2 + bx + c    =    (x + m)(x + n)

                 

 
              ตัวอย่างที่ 5     จงแยกตัวประกอบของ  x2 – 10x + 21

              วิธีทำ              เนื่องจาก (-3)(-7)   =   21
             
                        และ              (-3) + (-7)   =   -10

                        ดังนั้น     x2 – 10x + 21    =   [ x + (-3)][ x + (-7)]

                        นั่นคือ     x2 – 10x + 21    =  ( x -3 )( x -7 )        
             
              ตัวอย่างที่ 6     จงแยกตัวประกอบของ  x2 + 5x - 6

              วิธีทำ              เนื่องจาก  (-1)(6)   =   - 6

                           และ            (-1) + (6)   =    5